Бабушка не хочет общаться с внуком

Моему ребенку почти 4 года. С моей мамой видится редко - около раза в месяц. Думаю, поэтому он ее стесняется. Когда мы встречаемся, я его предупреждаю - вот мы идем к бабушке, или сейчас бабушка придет, его ответ - только скажи ей, что я стесняюсь! Но минут через 10-15 он уже ведет себя обычно - играет и разговаривает. Она же очень обижается, что он с ней не здоровается, объясняя это тем, что она учила своих детей выходить и здороваться, а я не воспитываю его. Дошло до того, что не смотря на приглашения и просьбы она не пришла на мой день рождения, обьяснив это тем, что раз ребенок не хочет с ней здороваться, то мы не рады ее видеть. Причем с моими подругами малыш здоровается и прощается без уговоров, сам. Со свекровью тоже стесняется здороваться, но она не зацикливается на этом и через 10 минут он уже с ней играет. Ее он тоже видит не часто, живет она далеко. Но я вижу, что свекровь он любит больше, а мою маму побаивается. Когда я даю ему поговорить с моей мамой по телефону, он через пару предложений может начать баловаться и фыркать или смеяться в трубку, на что она отвечает, что будет говорить с ним только нормально и отключает телефон.
Мне очень печально видеть такую ситуацию, но сколько я ни объясняла сыну, что он обижает бабушку, когда не здоровается с ней, он все равно не может выдавить из себя эти слова. А все разговоры с мамой на эту тему заканчиваются тем, что мы с мужем его не воспитываем, а вот она двоих смогла. И наш разговор заканчивается ничем.
Как мне изменить поведение с ребенком и мамой, чтобы уладить ситуацию?