Как поступить?

Жаль, что ваша бабушка сказала о своем страхе ехать одной только на следующий день. Похоже, что вы сами не могли догадаться. Думаю, если бы вы вовремя узнали о том, что она боится, вы бы ее не оставили одну. Такие конфликты часто возникают там, где вместо прямых простых посланий друг другу люди не договаривают, а домысливают мысли не совсем соответствующие реальной ситуации.
Это хороший урок для вас обоих с бабушкой. Ну а пока…Думаю, что стоит вам поговорить с ней и объяснить, чем был обусловлен ваш поступок. Сообщите ей главную мысль: если бы вы знали, что она боится, то ни за что ее бы не оставили. А то, что вы не догадались о ее страхе, это может свидетельствовать о вашей рассеянности, невнимательности, настрое на другую волну, но точно не о подлости и злом умысле. На будущее договоритесь сообщать друг другу о своих реальных переживаниях и потребностях, а не о предположениях, кто как должен себя вести. Признайте, что вы не идеальны, найдите теплые слова для бабушки, дайте ей знать, что она вам не безразлична и что вы жалеете о случившемся.

Если ваша бабушка решила возвести вас в категорию подлых людей, то, судя по всему, она и дальше будет настаивать на своем, со всей силой собственной тяжести и принципиальности, а может и еще каких-то чувств, о которых вы не догадываетесь. Я не могу знать, зачем она делала вам такую жесткую проверку. Возможно, что-то хотела доказать вам, себе или еще кому-то. Человек видит то, что хочет увидеть. Факт вашего "прокола" поднял у нее сильные чувства. А это значит, что за ними - сильная неудовлетворенная потребность. В чем? Если вам не безразлична ваша бабушка, попробуйте поразмышлять над этим. Она может неосознанно хотеть чего-то, как от вас, так и от других близких (внимания, признания, уважения, любви). Тяжелые и принципиальные люди внутри себя часто оказываются одинокими и несчастными. Но попросить о чем-то напрямую они не могут и переучивать их в этом возрасте бесполезно.
Может быть много разных причин, по которым ваша бабушка отстаивает свое видение ситуации. Вряд ли вам удастся ее переубедить. Да и стоит ли воевать?
Я бы, например, сказала своей бабушке, что точно знаю о себе, что я не подлая и никакого злого умысла у меня не было. Я искренне сожалею, что так случилось, что я не подумала в тот момент о ней. Но с моей стороны это не подлость, а невнимательность. Сказала бы о своих искренних теплых чувствах к ней (разумеется, если таковые имеются). И при этом, оставила бы ей право думать обо мне что угодно. Сама то о себе вы так не думаете? Признайте свое бессилие изменить бабушкино мнение. Уважайте себя и примите бабушку такой, какая она есть.