убил своего кота

Роман,
ваш вопрос о том, говорить ли правду родственникам или нет, или про то, что вы убили животное и ничего не почувствовали?
То есть в вашем вопросе есть тревога о том, почему я не чувствую расскаяния.
Что с вами происходит такое, что вы не сочувствуете тем, кто находится рядом?
Давно ли у вас такие приступы гнева, что вы не можете себя контролировать?
Когда человек находится в нетрезвом состоянии саомоконтроль уменьшается. Ваш гнев вышел наружу и был направлен на животное. На кого он будет направлен в следующий раз?
Может, стоит бережнее относится к себе и прояснить для себя, что со мной такое происходит, как мне с этим жить дальше? Для этого стоит походить к психологу. А рассказывать про свой поступок кому-либо или нет - решать вам.

Похоже, совесть Вас все-таки мучает, иначе, вы бы не формулировали убийство животного как "дурни наделал", "коллектив надоужил" и не думали бы как соврать семье. Просто признали бы факт и относились к этому спокойно.
А в чем вопрос? В чем проблема, все таки непонятно.

Здравствуйте, Роман!
Думаю, Вы правы, это действительно проблема.

Да Роман - так не должно быть.
Подробнее.
Убийство наспор - твой минус. Много открытых вопросов коллективу в котором произошло это наспор.
Алкоголь - минус в твою сторону. Без объяснений!
Неконтролируемые вспышки гнева - минус. Угроза живым окружающим, угроза для себя самого.
Желание избежать ответственности - еще один минус. Без оправданий.
Сделай выводы. Удачи!

К вопросу: должно ли так быть? Ответ - нет, так быть не должно. Да, это проблема, и она в том, что вы убили живое существо и не испытали никаких чувств по этому поводу. Что меня зацепило, так это именно отсутствие чувств.