Как убедить?

Здравствуйте, Юлианна.
Повлиять на человека, который "категорически против" можно только тогда, когда он перестанет быть таким категоричным. И будет готов хотя бы выслушать вашу точку зрения, аргументы.
Но ведь можно предположить, что не только ваши родители "к. п.", но и ваши с братом аргументы недостаточны для того, чтобы родители почувствовали и поняли - эту собаку будете содержать вы, а ухаживать будете за ней вместе с братом. Причем настолько, что у родителей об этом не будет "болеть голова".
Ведь не зря у вас "вынужденные обстоятельства"... - то есть некие сложности, которые не дают вам возможности жить отдельно и принимать свои собственные решения.
Есть еще такой момент - собаку - животное, о котором можно позаботиться. И которое сможет верно служить и дружить с вами - это может быть желание компенсация недостатка внимания и заботы к вам с братом со стороны родителей, которые, по вашим ощущениям излишне требовательны к вам.
Самый же эффективный вариант - становиться самостоятельнее, организовывать свою отдельную жизнь и заводить там собак. Если, конечно, этого все еще будет хотеться.
А еще как-то не хватает конкретики - какая-то таинственная недосказанности. Такое ощущение, если я узнаю какие-то дополнительные факты, то соглашусь с вашими родителями и поддержу их.

Присоединяюсь к ответу коллеги.