Родительский авторитет

Добрый день, Катерина!
Немного не понял, Вы работаете и иногда у Вас выходной только Воскресенье и живете с дочкой на съемной квартире?
КОгда Вы приходите домой? Дочка одна дома когда Вы на работе?

Т.к. с Ваше мамой не получается договориться Вы посчитали, что проще объяснить ребенку, что она должна делать и считать Вас авторитетом?
С кем сейчас дочька согласовывает эти вопросы?
Вы считаете авторитет можно заработать просто объяснив что-то 8 летней дочьке и: "в выходные ходим в кино, пиццерию, в развлекательные центры?"
Понимаю Вашу непростую ситуацию, сложно и обеспечивать материально и проводить достаточное и в колличестве и в качестве.
Ребенов в 8 лет должен иметь свои желания и потребности и не отказываться от них в пользу родительских!

Катерина, объяснить про авторитет кому-либо невозможно. Он либо есть, либо его нет.
И вот тут важно понимать, в какой момент что поменялось, какими были раньше ваши отношения с дочерью?
И главное, почему вы решили, что у дочки нет понимания, что вы главная? Только потому, что она нарушает запреты?

Что касается бабушки, то вариант ограничить общение с ней и соответственно дочки с бабушкой, если бабушка пытается стать главной и вас сдвинуть с позиции родителя.
Какие у вас отношения с вашей мамой были до недавнего времени?

Как мне объяснить ребенку, что авторитетом должна быть мама, и что какие то действия (походы к бабушке, просмотр мультиков свыше разрешенного времени, выход на прогулку и прочее) должны согласовываться и одобряться мною?

Похоже ваша дочь переживает один из своих переходных возрастных периодов. И чем больше вы пытаетесь "продвигать" свое видение воспитание в разрез с взглядом вашей мамы, тем больше вы ребенка запутываете - усиливаете внутренний конфликт.
Попробуйте варианты компромиссов - что-то позволять бабушке, что-то позволять не выполнять ребенку, а в чем-то быть настаивать на своем требовании с обьяснениями... Ребенок привыкнет и появится послушность...

То есть мне она не боится ответить, сказать чтото обидное (границы в принципе не переходит,

Это можно рассматривать, как избаловали, а можно как то, что дочь чувствует, что вы ее любите и принимаете даже когда она хамит.

Выстраивайте границы со своей мамой. Предположу, что вы из чувства благодарности за помощь частенько молчали и бабушка занималась воспитанием сама. А теперь началась битва, когда вы пытаетесь показать, что вы родитель и вы решаете. Могу и ошибаться конечно.

Что бы дочка не страдала надо найти возможность и договориться с Вашей мамой о восптании, какие-то принятые правила совместного воспитания: в каких вопросах Вы решаете, что бабушка может решать, что делать когда мнения не совпадают.

Вы не можете договориться с мамой и хотите заручиться поддержкой дочери.
А не надо. Вы как будто таким образом показываете, что от нее зависит решение этого конфликта.

Как донести ребенку, что, например, если бабушка звонит и говорит, я за тобой сейчас приду, то нужно сначала меня в известность поставить и получить мое согласие?

Донесите своей маме, что если будет подобное впредь повторятся, то общение бабушки с внучкой закончится.
Вы боитесь быть "плохой" в глазах дочери и мамы. А что случится, если они позлятся?

Либо вы отстаиваете свои границы и объясняете, как с вами нельзя, а как нужно, либо терпите и с вами поступают как удобно.

Пожалуйста. Но ставить дочку между "жерновом и наковальней" , эмоционально - это вариант решения с последствиями для дочки.
Вариант. Бабушка звонит и говорит, что соскучилась, любит и придет. Дочка в ответ я тоже соскучилась очень и любля тетя и хочу увидеть. ТОлько, мне надо маме позвонить и разрешения спросить, а то будет ругать. Что ребенок будет чувствовать? Она должна будет принять или Вашу или сторону бабушки и в любом случае будет в проигрыше (обида, вина, самоценка и т.д)

Знаете, хоть с бабушкой и сложно договориться, но все-таки важно именно с ней обсудить общие принципы, которые вы обе согласны соблюдать.
И еще я предложила бы Вам проанализировать, что бабушка пытается «показать» таким своим поведением?
Может ли так быть, что она вдруг стала чувствовать себя ненужной (в отличие от того, что было раньше, когда Вы доверяли ей воспитание, потому, что вынуждены были выйти на работу), и хочет таким вот образом просто сказать «а как же я? Я что уже не важна для вас?»
То есть тут не столько Вы отстаиваете свой авторитет, сколько она свой, а Вы уже вынуждены на это как-то реагировать.
Ведь если бабушка привыкла, что она сама все решала раньше, что ее решения принимались, как «правильные», то теперь либо по привычке «управляет», либо, чтобы чувствовать себя «нужной».
Если такое предположение покажется Вам близким к реальности, то в разговоре с бабушкой важно не забыть сказать, что Вы на самом деле очень благодарны ей за помощь и цените все то, что она делала для Вас и для ребенка.
И что хотите выработать для дочки единую систему правил, поэтому хотели бы обсудить некоторые моменты. Ведь на самом деле, даже для безопасности важно, чтобы Вы всегда знали, где дочка, значит, ее важно научить информировать об этом (это и в будущем пригодится, когда она будет к подружкам ходить, например, или задерживаться где-то).
Это как в мультике про Простоквашино: «это я раньше злой был, потому, что у меня велосипеда не было» - а когда бабушка «получит» то внимание и уважение, которого, возможно «требует» таким свои поведением, то «опять расколдуется» и станет той бабушкой, с которой у Вас были близкие отношения раньше.
Что касается дочки, то можно немного «сгладить углы» и объяснить, что бабушка может просто забыть меня проинформировать, да и вообще может оказаться не в курсе «наших планов» (например, уроки, кружки или другое), поэтому важно, прежде, чем принимать решение идти к бабушке, сказать об этом маме.
Не превращать это в «кто главнее», а сделать просто «рабочим моментом», который «логичнее решить» именно так.
Как вариант)