Что делать?

Ничего не делать. Это не маркер уважения. Обращайте внимание на другие вещи

На самом деле может быть много причин такого поведения, в том числе особенности характера и традиции в семье (это может казаться неуместным или что-то похожее)

Попробуйте спокойно обсудить с парнем, что для Вас важно в отношениях и принять то, что важно и приемлемо для него.

Во-первых, МЧ мог просто забыть про ДР. В конце концов, это не ваш ДР и речь не про его маму.
Во-вторых, ваш МЧ встречается не с вашей мамой, а с вами. И если у него нет желания ее поздравлять, то ничего в этом страшного нет. То, что вы поздравляли его маму это ваш выбор. Не стОит требовать такого же в ответ.
Можете просто сказать о своих чувствах, и как эта ситуация выглядит для вас. И послушать его мнение.
Но это заблуждение, что если мужчина и женщина вместе, то и родителей, и ближайших родственников нужно любить, общаться с ними и всячески проявлять внимание и участие в их жизни.
Важно какие у вас отношения

Моя мама очень разозлилась/обиделась на него, да и мне не нравится такая ситуация. Значит он не уважает мою маму и меня.

Ваша мама считает, что ваш МЧ то-то должен ей, если вы встречаетесь?

В вашем понимании если МЧ не поздравил вашу маму это = он не уважает маму и вас. Может он как-то по другому смотрит на вещи? Он же не с вашей мамой встречается. Проговорите с ним эту ситуацию.