Стесняюсь просить прощения

Настя, прощение просить действительно не просто.
И тут важно понимать, за что именно Вы хотите извиниться.
Важно говорить только о том, в чем действительно считаете себя не правой.

При этом начать разговор с мамой можно с обсуждения произошедшего.
Вам не нравится эта ситуация, не нравится, что мама расстроена, так можно и сказать.

В том, что Вы описали, два участника, важно обсудить действия каждого, понять кто какой "вклад" внёс в этот конфликт, чтобы учитывать на будущее и не повторять.

Важно, чтобы мама услышала вашу позицию относительно того, что Вы готовы были помочь, но позже.

И тут ещё нужно учитывать момент срочности, как объективное обстоятельство.
Например, если для разблокировки карты время ограничено, то это важнее, чем привести в порядок вымытые волосы (при этом понятно, что с пеной на волосах никто такие вопросы решать не будет).

Поговорите с мамой, скажите ей то, что написали тут, расскажите, что Вам сложно даже начать этот разговор, но Вы хотите наладить ситуацию.
Открытость и искренность всегда хорошие аргументы в отношениях.

мне стало очень стыдно.

я всегда этого стесняюсь

За стыдом и стеснением скрываются страхи.
Чего Вы боитесь?
Что страшного в том, чтобы просить прощения?

Добрый день.
В вашем сообщении уже стоит формулировка, что именно вы должны просить прощение.
Возможно, вы чувствуете вину перед мамой. Особенно, что ее реакция это подкрепляет, она сидит грустная и расстроенная.
Важно понять, почему так происходит. Ситуация с картой не могла продолжать? Это был вопрос экстренный? Или он мог подождать?

Если нет, то вы маме объяснили ситуацию. Но вы не были услышаны, в чем нет вашей вины.

Но в любом случае мама взрослый человек, которому вы можете объяснить как пользоваться приложением, чтобы в будущем, мама сама могла решать такие вопросы без вашей помощи.

Мы поссорились и я не знаю как мне попросить прощения, мне стало очень стыдно.

Анастасия, за что, собственно, Вам стыдно? За несдержанность? В связи с возникшим желанием попросить прощения? Это важно сознавать. Так чего стыдитесь?

Сейчас она сидит расстроенная и грустная.

Мама реагирует как умеет. Возможно, считает себя обиженной. Это право любого взрослого человека - переживать случившееся в своем привычном стиле. Вы, по идее, не несете ответственность за эмоции мамы, как, впрочем, и за ее способ решения возникшей проблемы.

Есть ли у Вас сожаление по поводу ссоры? Можете ли Вы его выразить, четко разграничив, прежде всего, для себя, в чем именно Вы были не правы, а где Вашей вины нет?

Мне почему то всегда было тяжело просить прощения, я всегда этого стесняюсь

Стоит прояснить, что стоит за стеснением? Стеснение может быть сигналом сопротивления, когда другие принуждали просить прощения вопреки Вашей воле и желанию. И в этом случае оно символизирует некий потенциальный отказ от себя.

Уверен, что просить прощения оправдано тогда, когда человек осознал свою ошибку, готов признаться в этом другому и хочет наладить отношения. В остальных случаях прощение будет, по сути, лицемерием, игрой в благородство.